統計機率專題-卜豐投針實驗

神掌打通任督二脈‧易筋經以簡馭繁

符號意義:統雄快訣統雄快訣 延伸閱讀延伸閱讀 進階議題進階議題 警示訊息警示訊息

統計基礎篇

卜豐投針實驗內容

統雄觀念簡說

簡約的歸納法

卜豐的啟示

行為機率的開拓

快樂學習的啟示


卜豐投針實驗內容

1758年的一天,在法國巴黎一個叫卜豐(Buffon)的人家裡,聚集了男男女女,老老少少許多人,這些人都是受了主人的邀請,來參加一個大家都不甚明白的實驗。只見主人拿著一卷紙走入客廳,並走近客廳中央的圓桌,然後將紙展開舖到桌上。

卜豐投針實驗內容接著,主人將事先準備好的一包包小針分發給各位來賓。然後向來賓解釋:紙上的一條條直線都是平行線,小針的長度是平行線間距離的一半,現在,請各位將手中的小針隨意投向紙面。

實驗就這樣開始了。客人們覺得很好玩,都興高采烈地隨手把小針一根一根投向紙面。這些針有的落在白紙上的兩條平行線之間,不與任何直線相交,有的則剛好落在某一條直線上。(如圖)

卜豐在一旁記錄著投針的次數和針與某一直線相交的次數。當客人們手中的針都投完時,卜豐得到了兩個資料:全部投針次數2212,與平行相交的投針次數704,有了這兩個資料之後,卜豐做了一個簡單除法:2212÷704≒3.142 。他宣佈這就是「圓周率」的近似值。客人們驚訝不已!

這就是有名的『卜豐投針問題』實驗。

 

卜豐投針實驗-統雄觀念解說統雄觀念簡說

為什麼?各種數學文獻的正規推導難免複雜,一般人可能無法輕易、快速理解,且讓統雄老師再來幫你打一掌。

這個問題,其實就相當於在1個時鐘的頂端與底部畫2條平行線,然後問:分針繞1圈會和2條平行線正交幾次?(如分針長度是平行線間距的一半,正交是唯一和平行線相交的機會。)

答案很簡單:只有2次,即指到12和6的時候。

分針繞1圈的角度有多少?我們知道是2π。

所以分針繞1圈的會產生相交現象的「理論機率」是:P= 2 / 2π = 1/π

以上公式移項: π = 1/P

而實驗中發生的「觀察機率」P = 與平行線相交數 / 總投針數

將 P 代入前一公式,並簡化繁分數,則:

π = 總投針數 / 與平行線相交數

是不是真簡單?

簡約的歸納法

統雄老師以上的示範,其實是一種簡約的歸納法。

1.如果1個樣本空間中所有樣本總加的平均,會等於一個「平均樣本」。

2.如果我們能夠找到「平均樣本」,研究這個樣本的行為,就會是所有所有樣本總加後的平均行為。

卜豐的啟示

卜豐實驗不能算是建構一種獨立的基礎知識,但確實是一種獨到的「不同思想方法」。

卜豐結合了機率和積分的有關知識,完全不借助幾何知識方法就能求出π 的值。

這是一種從理論反推事實可能發生的途徑,再由實驗證明抽象 事件存在的方法,甚至可以預測估計抽象 參數的值。

當然,真正以實驗、或電腦模擬時,並不容易剛好產生π 值,而只能產生近似值。這也說明在統計-或第2類知識-領域內,只能產生「區間測量」的結果。

行為機率的開拓

卜豐實驗開拓了機率研究更廣闊的觀照,增加了後世更多的應用。

請參考「機率論與機率分配篇」。

快樂學習的啟示

注意,本專題也是簡化式觀念解說,不是所有細節的運算。目的是延續本「數學樂學」系列的一貫精神問題解決,而不是計算。

我們是從一個「平均條件」的例子,啟發思考的邏輯;當我們能夠感受思考的趣味後,再由淺入深,推導滿足一般狀況的完整公式。


從以上經驗,也可發現思想方法充滿了可發展性,而領悟另有解決更深問題「第3類知識的存在」 

追求行為 Modeling的新典範

參考連結

Buffon's Needle Problem


管理研究統計課程-問卷 管理研究統計課程-問卷
回頁首 Up to page head 至頁尾 Down to page bottom
上一頁 Back to previous page 回頁首 Up to page head 下一頁 Go to nex page  

統雄數學神掌系列目錄
分享意見反映
統計教學的內涵與取向
高考統計考題的解析
微積分精華篇
微積分思想篇
微積分進階精華篇
統計/數學符號與其英語讀法
資料型態與視覺呈現
敘述統計
機率論與機率分配
推論統計學精華篇
t分配與 t檢定
推論統計‧理論建構
資料分析程序與SPSS基礎
SPSS 資料清理
SPSS 轉換:Recode 重新編碼
SPSS 轉換:Compute 建構新變項
SPSS 選擇觀察值_SPSS 資料庫管理
樣本代表性檢定
單變項:類別_二元資料/詮釋
單變項:類別_二元資料/應用
單變項分析:連續資料
單變項連續資料視覺檢視與清理
卡方分析(雙向)
多向卡方分析
單向卡方分析
變異數分析(單因子):詮釋
變異數分析(單因子):應用
簡單迴歸/相關分析:詮釋
簡單迴歸/相關分析:應用
對數/邏輯相關分析
測量工具信度/效度分析
量表信度 檢定
量表效標關聯效度 檢定
探索式因素分析 (EFA):詮釋與實作
探索式因素分析 (EFA):應用進階
因素效度分析_CFA:詮釋
因素效度分析_CFA:應用
多變項分析精華篇
多元迴歸分析:詮釋
多元迴歸分析:應用
一般線性模型精華篇
廣義線性模型
雙因子/多因子變異數分析
調節模型與交互作用詮釋
調節模型分析與建構
SPSS 統計圖應用:調節模型檢定
共變數分析/詮釋
共變模型建構/應用
因果模型與因果邏輯
中介模型分析
因徑/SEM:模型詮釋與因果邏輯
因徑/SEM:探索式因徑模型建構
因徑/SEM:驗證式結構方程解析
多變項分析實例SEM
多變項分析實例SEM+調節篇
因徑/結構方程SEM:反省
無母數統計
統計研討篇
專題-卜豐投針實驗
專題-機率與統計悖論
1類知識計量工具
2類知識計量工具
3類知識計量工具
非等機率知識體系建構
TX空時座標建構
一般取用測量
信仰取用測量
研究方法/民調市調系列
請點這裡看所有留言分類 Please click here to view categories of comments
同類別內相關主題