Core Concepts & Practice in Calculus_2
微積分是一種思想過程

神掌打通任督二脈‧易筋經以簡馭繁:本頁不是教科書,不是推導演算,而是以類似的生活例子,解說抽象 的概念,從而達到會應用微積分的目的。

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為什麼對微積分有挫折感?

為什麼微積分?

微積分的計算

不要被符號困惑

微積分基本定理 

馬上解題

變成牛頓的實證-自我測驗

你和牛頓一樣嗎?

微積分易筋三神掌

什麼是思想:知識產生的過程

知識的基礎與應用/創新與演化

什麼是知識光譜?

什麼是框架知識?

微積分進階篇:超越函數

深入思考:微積分與行為研究-以經濟學為例

自我啟發


先讀:微積分神掌易筋經 1

90分鐘變牛頓!


什麼是思想:知識產生的過程

牛頓手繪的微分圖解

牛頓手繪的微分圖解,或許可以誘發一種貫古今的幽情。

你作的「變牛頓」測驗,算來簡單,看

來平淡無奇。卻是改變人類歷史、奠定現代科學基礎、且聯合兩代曠世思想家:伽利略和牛頓,才共同革命、創新、實驗、印證出來的偉大知識!統雄老師在這裡教的不僅是微積分,而是啟發什麼是伽利略和牛頓的思想。

思想就是追求產生科學知識的過程,包括 2 主要部分:第一、建構基礎理論;第二、收集資料以印證理論的實驗方法與計量方法。

伽利略以滾球實驗提出了「地球重力存在」的基礎理論與實驗方法。

牛頓發明微積分的著作《自然哲學的數學原理》(Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica,簡稱 Principia)不是我們習慣中的數學教科書,只有公式與運算,沒有問題。他是為了解釋、證明、預測重力現象,而發明微積分的計量方法,是為了解決問題,而設計分析工具。

但我們的教學、考試制度,只考我們牛頓的結果,而沒有教牛頓的想法。

所以,統雄老師在這裡強調的不是計算技巧,而是提醒為解決問題、探索知識,而發展計量方法。 


基礎知識 VS. 應用知識 / 創新知識 VS. 演化知識

請問:為什麼滾球改變了人類?


伽利略的滾球,啟發了牛頓對地球重力 s=1/2gt2 的證明,進而擴充了「萬有引力的存在」與建立了力學 3 定律與古典物理體系-包括著名的 f=ma。當前一切在地球上,人類可知覺感受的科技文明,幾乎全部都是牛頓知識的應用。一直到愛因斯坦的 E=mc2,再突破可知覺感受的框架。

偉大知識不在繁複,而在思想過程。基礎知識在形式上,反而相對簡單。

當你會算二次微分的時候, 你的能力就和伽利略、牛頓、愛因斯坦一樣…

--伽利略、牛頓、愛因斯坦的改變歷史、創新性知識貢獻,都只是2次曲線問題。

--在基礎知識上所發展應用,反而可能有多次方與複雜的曲線。

基礎知識與應用知識是不同的貢獻,前者通常是必須突破當代社會相信困境,與眾不同的真正「創新知識」,而後者可稱為「演化型(Evolutionary) 理論」。如果基礎理論知識不正確,其上所有的演化理論都值得推敲。

請問: 你分得清楚真正的創新型理論,與演化型理論了嗎?

許多複雜的函數若一一從基本公式展開,工程十分浩大,所以許多數學家發展了許多簡化的公式,積分就有近百條。通常教科書都會附錄「積分表」以供查表應用。

對數學家而言,數學本身是目的,所以重計算。

對一般人,數學是工具。不必背公式、會查表就好。

但必須有「學習、好問」的動機與熱忱、瞭解計量的原理,才能快樂的解決問題。

微積分是快樂的、解決問題的思想過程
;但我們的教育(考試)制度卻把它變成痛苦的背公式和複雜計算!


什麼是知識光譜?

知識光譜」有如光譜,可分3類:「物理-生理-人類行為」知識,因其觀察對象與可預測程度不同,而方向有所區隔。然其間連通、繼承、與變化發展之元素,即為計量方法。  

微積分是第1類知識的思想與計量方法

統雄老師一直強調:微積分是計量方法的一種,且是「知識光譜」上解決物理問題「第1類知識」的思想過程。

微積分可以計量、可以分析預測的對象,在始祖們不自覺下,其實必須限定具備反身性、等加性,經常是人類可知覺範圍內的物理問題,也就是「第1類知識」的問題。

統計不是狹義數學‧是第2類知識的思想與計量方法

統計的始祖們發現,微積分無法解決非物理的問題,領悟到不同的知識類型,應有不同的計量方法。

統計的推理方式和人類直覺、微積分的正向比較方式相反,是一種逆向的辯證方式;但計量方法有所繼承、與相通之處,擅長的是處理具備常態分配性質的對象,如生物、生命現象問題,亦即「第2類知識」的問題。

統計的許多原理,如機率分配、變異量…等,就基於面積(積分)的比較。故統計對微積分是既繼承、更反動。

TX取用模式可能是第3類知識的思想與計量方法

但人類行為並不具備反身性、等加性,也不具備常態分配性,故統雄老師建議應積極探索人類行為具備「TX取用模式(TX Adoption Model)」性質的「第3類知識」,與前2類知識,共同形成知識光譜

TX取用模式已經應用展示在: Google 排行榜實驗臺灣選舉行為長期實驗接龍實驗…等。


框架知識再想一想:什麼是框架知識

知識光譜是與「框架知識」相對的。

我們在「變牛頓」活動中所求的重力常數 g,其實只在地球上是常數,如果移到其他星球、時空,並不會是相同的常數。這種只在地球上、在一定框架內才成立的知識,就是「框架知識」。

牛頓所建構的古典物理體系,就是當前最大的框架知識,規範了地球上人類一般能夠感知的所有物理現象。

一旦跳脫了地球這個框架,連以上距離函數中的「時間」意義,都可能和人類一貫的感受不同。

現代進行中的物理觀念,定義時間是相對於空間運動而存在,而第四空間就是「空時(spacetime)」,且「重力-空間-時間-速度」是相互影響的,所以以上距離函數中的「重力」與「時間」並非彼此獨立的,亦即中華古代「天上一日、地上千年」之說,不完全是神話,而是理論上的相對事實。

我們對知識的認識容易受到生活框架中,所能夠觀察體會到經驗的限制。這個例子所討論的,還是地球上最一致、最簡單的物理現象。更複雜的生命現象、人類行為現象,人類的認知將更容易限於更窄小的框架中。

我們應該警覺「框架知識」的事實,這也是統雄老師積極建議「知識光譜」的知識論、追求「人類行為的基礎知識」,以及從「多元學習‧獨立好問」出發的原因。


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數學名詞與符號源起(Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics)數學名詞與符號源起(Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics:版主是一位高中老師,證明對知識的熱情,是不受社會形象影響的。

90分鐘變牛頓! 統雄數學樂學/統計神掌易經筋-問卷
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統雄數學神掌系列目錄
分享意見反映
統計教學的內涵與取向
高考統計考題的解析
微積分精華篇
微積分思想篇
微積分進階精華篇
統計/數學符號與其英語讀法
資料型態與視覺呈現
敘述統計
機率論與機率分配
推論統計學精華篇
t分配與 t檢定
推論統計‧理論建構
資料分析程序與SPSS基礎
SPSS 資料清理
SPSS 轉換:Recode 重新編碼
SPSS 轉換:Compute 建構新變項
SPSS 選擇觀察值_SPSS 資料庫管理
樣本代表性檢定
單變項:類別_二元資料/詮釋
單變項:類別_二元資料/應用
單變項分析:連續資料
單變項連續資料視覺檢視與清理
卡方分析(雙向)
多向卡方分析
單向卡方分析
變異數分析(單因子):詮釋
變異數分析(單因子):應用
簡單迴歸/相關分析:詮釋
簡單迴歸/相關分析:應用
對數/邏輯相關分析
測量工具信度/效度分析
量表信度 檢定
量表效標關聯效度 檢定
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