Core Concepts & Practice in Calculus_1
90分鐘變牛頓

神掌打通任督二脈‧易筋經以簡馭繁:本頁不是教科書,不是推導演算,而是以類似的生活例子,解說抽象 的概念,從而達到會應用微積分的目的。

符號意義:統雄快訣統雄快訣 延伸閱讀延伸閱讀 進階議題進階議題 警示訊息警示訊息

為什麼統計的基礎是微積分?

為什麼對微積分有挫折感?

為什麼微積分?

微分的計算

不要被符號困惑

積分的計算

微積分基本定理 

馬上解題

變成牛頓的實證-自我測驗

你和牛頓一樣嗎?

微積分易筋2神掌與2心經

什麼是思想:知識產生的過程

知識的基礎與應用/創新與演化

什麼是知識光譜?

什麼是框架知識?

微積分進階篇:超越函數

深入思考:微積分與行為研究-以經濟學為例

自我啟發


為什麼統計的基礎是微積分?

統計是機率知識,處理的對象是「機率分配」,也就是各種曲線面積。

曲線面積是經由微積分處理所得。

如果不知道獲得曲線面積的原理,絕無可能真正了解統計。


為什麼對微積分有挫折感?

背公式、為考試,只有How(複雜計算),沒有Why(簡單原理)

太周詳,反而失去階段性、優先性

-所以,不完全是你的責任

-首先,要喚回你的信心

90分鐘內,一定有人從完全不懂,到會解微積分!

而且重點程度和伽利略、牛頓、愛因斯坦一樣!

老師,有影嘛(真的嗎)…老師,有影嘛(真的嗎)?請看學長的反映

變成牛頓的請舉手!變成牛頓的請舉手! 

變成牛頓的請舉手! 

於2012/2/18舉辦的「90分鐘變牛頓工作坊」,感謝有包括系主任級的學者先進參加指導。
更感謝有先進肯定該次工作坊的協助,比他從前所受全部研究教育還多。

圖片說明:統雄老師問:變成牛頓的請舉手!

微積分精華當前社會科學人才培養過程,自小就與數學脫節,進入大學後常有統計、卻沒有微積分。統計處理的各種「分配」與變異數,都是積分現象,如果無法真正理解其計量的基礎,只會造成使用統計軟體製造「垃圾進出(GIGO)」,所以統雄老師將微積分精華-易筋經-作為統計教學系列中,協助你打通計量研究任督二脈的第一神掌。

微積分精華統雄老師的統計教學系列,第一步是請你立刻學會「計量的思想過程
」。請讓統雄老師作你的導遊,重回快樂學習的樂園,請你驚喜:微積分真簡單!它是知識探險的工具,不是考試計算。統雄老師的講義有些陳述和教科書並不相同,目的是要簡化突顯概念,再看教科書就易豁然貫通;對外考試時,還是要採用教科書的陳述方式。

微積分精華在多年的教學經驗中,我發現「微積分」和「英語」剛好是2個相對的學習體。英語是每個人一定會,但沒有人能夠「馬上會」。「微積分」和「英語」恰巧相反,要嘛「馬上會」、要嘛「永遠不會」。我多次作過教微積分和相關數學的實驗,只要一次教學單元、只要學生願意參考老師的學習建議,就可以把一群從來不知道微積分是什麼的學生,其中相當高比例的學生訓練會微積分,而且應用的能力和伽利略、牛頓、愛因斯坦一樣,真的是「微積分馬上會」!但學生如果不願參考老師、或其他數學思想家(不是計算、猜題老師)的意見,有些數學的抽象 觀念,有可能終身學不會。 


為什麼微積分?

請問:根據教科書,牛頓對人類的最大貢獻是發現什麼?


地球重力,真的是牛頓發現的嗎?

Galileo 提出地動說後,大家不相信…

地球如果在轉,人為什麼不會飛出去?

Galileo 再提出滾球實驗

他設計了一個斜坡,使用1顆球(綠色),由坡道上滾下去。

左側是1個水鐘,鐘擺每來回擺盪一次,計一個時間單位。

斜坡上的紅點,表示滾球每一個單位時間所滾的距離。

Galileo 再提出滾球實驗

證明:在相同單位時間內,球滾的距離卻愈來愈長,這就是「看不見而存在」往下拉的作用-地球重力。

但是,這種抽象 的思考,大家-包括頂尖大學、傑出學者(包括寫牛頓傳記的名家)-還是看不懂、想不通…Galileo含恨去世。

如果你現在認為是重力,請深切檢討:你是真的知道原因與證據,還是因為:書上說、老師說、有名人說、大家說…的形成的社會相信


滾球實驗「如果地球是圓的,我們怎麼能站在上面呢?」

國際名人、NBA冠軍、杜克大學畢業的厄文,在2017年說:「地球是平的 學校在騙我們」。勇士隊名將卓雷蒙:「厄文的理論似乎點醒我了,如果地球是圓的,我們怎麼能站在上面呢?


後來,牛頓想到證明的計量方法

畫出實驗中時間與距離的曲線。

球滾的距離為「速度×時間」,而每單位時間的速度不同,所以會形成非對稱的上升曲線。可是,當時沒有人會處理非對稱曲線面積的問題。  

如果有一種方法,可以分析球速的變化有一定規則的話,那個規則就是「看不見而存在」的力量-後來他命名為重力。 

統雄神掌系列的目的是:快懂、易學、打通思想脈絡,不是抄寫教科書,很多地方和教科書不一樣。不一樣是為了簡化、概念化的教學目的,而非否定教科書。牛頓又想:速度=「距離 y/ 時間 x」,y/x 就是斜率,如果可以測量線上的切線斜率,就可以得知速度如何變化。而切線又是割線變動的現象,所以由割線入手,設Δ表示球移動的量,則:當Δ縮小趨近於0時,該割線可以視為為過1點的切線,從而求得斜率。

牛頓因此發現微分方法,並稱求得斜率的值為導數,印證Galileo的實驗是可預測、實證的知識。

譬如,設存在函數  f(x)= 2x

f'表示導數,f'(x)= [2(x + Δx) -2x] /Δx =2

未知數自然會前後相減、上下相消,真是數學的美妙啊!

牛頓不講,我們自己想得出來嗎?

我當年看到這裡,忍不住從椅子上跳起來拍頭打腿,你曾享受過這種知識的愉悅..嗎?


統雄神掌系列的目的是:快懂、易學、打通思想脈絡,不是抄寫教科書,很多地方和教科書不一樣。不一樣是為了簡化、概念化的教學目的,而非否定教科書。斜率是「長/寬」,稱為微分;若已知斜率與寬,可反推「長」﹦「斜率×寬」之積;所有垂直線的累積和,就是曲線面積,就稱為積分。

微分的函數稱為導函數,積分的函數則稱為反導數。 

所以,微積分的

目的:解決一個非對稱曲線現象的問題。

原理:可以從觀察函數各點的斜率,即微分所得的導數,達到推求始函數下面積的結果。

統雄神掌系列的目的是:快懂、易學、打通思想脈絡,不是抄寫教科書,很多地方和教科書不一樣。不一樣是為了簡化、概念化的教學目的,而非否定教科書。如果你和我一樣:生在貧困時代、偏遠地區、鄉鎮內根本沒有初中,什麼也沒學到…

那你一定還記得田邊的歌謠:1 隻青蛙 4 條腿、2 隻青蛙 8 條腿…

假如你已知有4隻青蛙、16條腿。

請問1隻青蛙有幾條腿?-求商

請問5隻青蛙(分母)有幾條腿?-求分子

知道商(微分)和分母,就可以知道分子(積分)的大小。


微分的計算 Differential Calculus

統雄神掌系列的目的是:快懂、易學、打通思想脈絡,不是抄寫教科書,很多地方和教科書不一樣。不一樣是為了簡化、概念化的教學目的,而非否定教科書。一本微積分通常都在700頁以上,前面半部都在講以下運算:

常數規則、倍數規則、和差規則、與指數規則。註:當然還有積商規則,但本文的目的是觀念啟發,而不是取代教科書,所以這項規則先跳過。

極為巧合的是,微分前3項規則,和代數運算完全一樣。

統雄的概念解說註:以下前3項是統雄老師的概念解說,不是教科書的證明公式

微積分的計算常數規則

常數的座標為 (X, 0) ,亦即所有常數的 Y=0。

而斜率﹦Y/X 故對常數微分,其值為 0。

f'(c)=0  (c=b/a, if b=0, then c=0)

如:f'(1)= 0

微積分的計算倍數規則

f'(cf(x))=cf'(x)  (if b=(cx), then b=c(x))

如:f'(2x)= 2f'(x)

微積分的計算和差規則

f'(a+b)= f'(a)+f'(b)  ((a+b)=(a)+(b))

如:f'(2x+1)=f'(2x)+f'(1)

和差規則的精確公式註:教科書的精確公式寫法如下:

和差規則的精確公式

公式要明確表達,將多項式分解為f, g(或更多)函數的意義。但f'和g'的運算方法其實完全一樣,初學者看到以上符號,可能搞糊塗了。更糟的是,可能產生畏懼、排斥的心理,以致連非常簡單的(微積分真的很簡單)運算都不會。

我是暫時將函數式簡化為代數運算子觀念,協助你先會;未來融會貫通以後、或出外考試,還是要用正確的函數式。

微積分的計算指數規則:是唯一的門檻-也是微積分唯一的抽象 觀念:趨近於0等於0。

若函數為:

f(x)= xn

則對該函數微分之導數為:

f'(x)= nxn-1

導數係數﹦函數係數×指數;導數指數﹦函數指數-1

看起來很玄,其實就是利用高中的二項式定理,代入定義公式:

頭尾和Δx都可消去,只剩第2項。

如果你忘了高中數學…或是因為教育的分流制度,「不准」你學數學…

你就用初中的二次方程式:f(x)=x2 代入定義公式

f'(x)= [(x + Δx)2 -x2] /Δx

因為 (x + Δx)2 ﹦x+ 2(x)(Δx) + (Δx)2

第1項 前後相減: x2 - x2 = 0

第3項 (Δx)2 ≒0

第2項上下相消,消去 Δx後是2x (即x2 nxn-1)。

同理便可推所有的次方:

f'(x)=  1

f'(x2)=  2x

f'(x3)=  3x2

f'(x4)=  4x3


統雄神掌系列的目的是:快懂、易學、打通思想脈絡,不是抄寫教科書,很多地方和教科書不一樣。不一樣是為了簡化、概念化的教學目的,而非否定教科書。對任意多項式

都能以「指數規則」形式表現

所以:

Tx-Calculus-7 


微分符號

不要被符號困惑

以下都表示微分函數:第3個尤其表現「長除以寬」的意義

微分各函數的值稱為導數(Derivative),求導數的過程稱為微分方法(Differentiation),簡稱微分。 


 

微分符號的進一步說明微分符號的進一步說明

微分dy 則是「y的『微分值』Differential of y」,是過y點,近似切線的y截距;dx亦同。

propagation errorΔxΔy是真實動量,dydx是經過微分方法推算出來的近似值。在數學上,dy≒Δy;但在事實上,兩者之間會有細微的「傳導誤差(propagation error)」。

微分與導數兩詞在口語中易有混淆現象,兩者定義上的差別如下,以下3個例子:第一個是原始「函數」,第二個是原始函數的「導數」,第三個是y的「微分值」,其表示式:

dy = f(x)dx

特稱為「微分方程式(differential equation)」。

微分方程式對初學者非常困惑的是:在微分方程式與積分式中的 f(x),表達的是「被積函數」,其實對原始函數而言是指導函數,亦即是 f'(x) 的意思。

微分與導數


積分的計算 Integral Calculus

微分成立,則存在積分-又特稱為求反導數。

其定義為:對反導數微分,可得已知導數,故逆推其值如下:

Tx-Calculus-3

驗算如下:

Tx-Calculus-4

積分指數﹦函數指數+1;積分係數﹦函數係數/(指數+1) 


積分符號

除了用大寫的F(x)外,為了表現其為「導函數×寬﹦長」的「總和」,又有特殊符號,並可分:

不定積分:即積分函數

Tx-Cal-12

導函數為 f(x)

寬為 dx

前面的S型符號,就是總和(Sum)每個垂直線(長)的小面積,形成總面積的意思。 

定積分:1個數值

即積分函數圖形中,x=a到x=b之間的面積

 

「微分方程式」的解不定積分即定義為「微分方程式」的通解(general antiderivative solution);而定積分則定義為特解(particular solution)

瑕(Improper)積分定積分之a, b有一個以上是「無窮大」時,稱為瑕(Improper)積分。

Leibniz「微分方程式」這一系列類似代數形式的符號,是由Leibniz所發明的。就形式而言,並不符數學的正確論證,但卻可簡化理解與應用程序。這也是統雄老師在思考如何簡化概念與教學時,向他學習的。
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微積分基本定理 

統雄神掌系列的目的是:快懂、易學、打通思想脈絡,不是抄寫教科書,很多地方和教科書不一樣。不一樣是為了簡化、概念化的教學目的,而非否定教科書。積分是1個集合

也可以推算特定區域面積,也就是「微積分基本定理」:

Tx-Calculus-8 


微分馬上會

 馬上解題 f(x)= 2x+1 微分之導數為何?

依據和差規則:

f'(2x+1)= f'(2x)+f'(1)  和差規則同前注

常數規則:

f'(1)﹦0

倍數規則:

f'(2x)= 2f'(x)

指數規則:

f'(x)= nxn-1

因為 n=1,所以

2f'(x)= 2 * [ 1 * x (1-1) ]= ?

如果你是從頭,從理解概念而認識原理看到這裡,這題測驗,你根本不用算就知道答案了。為什麼?

90分鐘變牛頓!再問:

f(x)= 3.14 x - (2.7)-9

f(x)= 5 x2

f(x)= (e-2.7 )sinπ x3 + In (9.8)2

導數為何?是否用看的就知道答案了?

90分鐘變牛頓!微積分的證明與呈現很複雜,但一旦瞭解其抽象 的基礎知識,其實就很簡單。

這和統雄老師發明「大型複雜組合決策」-「接龍實驗」預測模式是一樣的。

參加過實驗的同學都記得,老師其實公佈了計算公式,如果硬算,用電腦輔助都非常吃力;但知道原理,掐指一算就知道答案了。

一如伽利略時代,一般人不相信重力存在,也不知道可證明其存在的計量方法-微積分;現在一般人也不相信統雄老師可解接龍,也不知道可證明其解存在的「大型複雜組合決策」方法。

所以學微積分,更重要的是有沒有在微積分誕生史上,學到知識、思想過程
、與「社會相信」的不同。

90分鐘變牛頓!解答

f'(3.14 x - (2.7)-9 ) = 3.14    ,因為 3.14 * 1=3.14

f'( 5 x2)  =10x  ,因為 5 * 2=10

f'((e-2.7 )sinπ x3 + In (9.8)2) = 0  ,因為 sinπ x=0


積分馬上會

 馬上解題 f(x)= 2x+1, b=3, a=1 之定積分為何?

先依據和差規則:F(2x+1)﹦F(2x)+F(1)  和差規則同前注

指數規則:

 

因為F(2x)變數x 之n=1, F(1)常數1 之 n=0 

= 2*[x(1+1) /(1+1)] + 1*[x(0+1) /(0+1)] =x2 + x


你也可以試試,用視覺反推法。

即積分的指數﹦原始函數的指數+1

積分的係數﹦原始函數的(係數/原始函數的指數+1)

F(2x)﹦x2

F(1)﹦ x


b, a 值先後代入 x

b=3, F(b)  = 32+3;  a=1, F(a)  = 12+1

F(b) - F(a) =?

定積分和差規則的展開本例是定積分規則,如果是不定積分,應多一項常數C;在定積分時則因相減被消去。
精確的寫法精確公式是: F[G(x)+H(x)]= G(x) + H(x)
所以精確寫法是: F(2x+1)﹦G(2x)+H(1) ,但計算方法和我所示範完全一樣。我暫時簡化的理由,也是希望你先有信心,再探索精確細節。

變成牛頓的實證-自我測驗

請絕對、絕對不要問別人、看別人,這是你這一生自信的轉捩點!

馬上解題f(x)=4.9x2 微分之導數為何?

參考指數規則:f'(x)= nxn-1


如果你算出來 f'(4.9x2)=9.8x

馬上解題請對 f(x)=9.8x 再一次微分,其導數為何?


如果你又算出來了 f'(9.8x)=9.8

你就和牛頓一樣…為什麼?

--因為你算的,就是伽利略滾球實驗-牛頓自由落體距離函數的發現。(地球重力常數 g≒9.8 m/sec2,本題設初速、初距為0,所以以下的公式後2項為0)

牛頓發現如果把伽利略的實驗,改為自空中自由落下,落下的距離函數會是:

距離函數

即每單位時間,落下距離的累積和,等於曲線下方的面積。

對距離函數微分,得到的是速度函數:

速度函數 

再對速度函數微分,就會發現一個常數,即地球重力:

重力常數 

不論作多少次實驗,都會有相同的常數,就是有一種穩定的加速力量-地球重力-的存在。也就是牛頓對人類最大的貢獻!

你已證明:你和牛頓一樣,發明了微積分,證明了地球重力的存在!


統雄神掌系列的目的是:快懂、易學、打通思想脈絡,不是抄寫教科書,很多地方和教科書不一樣。不一樣是為了簡化、概念化的教學目的,而非否定教科書。微積分易筋2神掌與2心經

如果1次式、2次式,你都算出來了,所有的多次式,你也都會算,因為微積分只有4件事:

 

微積分易筋三神掌2神掌:2個解題技巧

 

微積分易筋2神掌與2心經對所有數學式微分,不論其項數多少,其導數是各單項式導數之和。

若 f(x)= 4x3 + 3x2 + 2x + 1

則 f'(x)= f'(4x3)+ f'(3x2)+ f'(2x) + f'(1)   和差規則同前注

 

微積分易筋2神掌與2心經所有單項式導數都可以運用「指數規則」求得。

f'(x)= 12x2 + 6x + 2

而積分,就是微分的相反。

 

微積分易筋三神掌2 心經:2個抽象思考

微積分易筋2神掌與2心經微分就是斜率「長/寬」,積分就是「斜率×寬」之乘積的累積和。會除法、就一定會乘法;所以,會微分,就一定會積分。

微積分易筋2神掌與2心經以上成立的原因,只是建立「趨近於0,等於0」的觀念。並不難,只是除了牛頓,並沒有人想到,更可能是,沒有人去想。

高階導函數(Higher-order Derivative)多次式的微分稱為高階導函數(Higher-order Derivative),如以上的v'(t) 就是 s(t) 的二階導函數, (Second derivative)。


牛頓-與其他歷史上的思想家-怎麼想?

以上我們發明微積分,其實還不到 70 分鐘,因為統雄老師不僅要示範微積分「是什麼」、牛頓的技術與結論;更重要的是討論微積分「為什麼」、牛頓的思想與知識產生的過程,包括對:基礎知識 VS. 應用知識 / 創新知識 VS. 演化知識 / 知識光譜 VS. 框架知識的領悟。

本工作坊不僅是「馬上發明微積分」,更是要領悟微積分是一種思想過程!


90分鐘變牛頓! 統雄數學樂學/統計神掌易經筋-問卷

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統雄數學神掌系列目錄
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統計教學的內涵與取向
高考統計考題的解析
微積分精華篇
微積分思想篇
微積分進階精華篇
統計/數學符號與其英語讀法
資料型態與視覺呈現
敘述統計
機率論與機率分配
推論統計學精華篇
t分配與 t檢定
推論統計‧理論建構
資料分析程序與SPSS基礎
SPSS 資料清理
SPSS 轉換:Recode 重新編碼
SPSS 轉換:Compute 建構新變項
SPSS 選擇觀察值_SPSS 資料庫管理
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單變項:類別_二元資料/詮釋
單變項:類別_二元資料/應用
單變項分析:連續資料
單變項連續資料視覺檢視與清理
卡方分析(雙向)
多向卡方分析
單向卡方分析
變異數分析(單因子):詮釋
變異數分析(單因子):應用
簡單迴歸/相關分析:詮釋
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量表信度 檢定
量表效標關聯效度 檢定
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