Advanced Key Concepts in Calculus

神掌打通任督二脈‧易筋經以簡馭繁:本頁不是教科書,不是推導演算,而是以類似的生活例子,解說抽象 的概念,從而達到會應用微積分的目的。

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微積分神掌易筋經基礎篇

超越函數

三角函數

對數函數

自然對數的底數e

指數函數

指數成長模式

供需成長模式

雙曲函數

偏微分與多變項模式

深入思考:微積分與行為研究-以經濟學為例

自我啟發


進階:其他函數進階:超越(transcendental)函數

在微積分基礎篇中,討論的都是「代數函數」(與其對應的幾何觀念),亦即以加、減、乘、除、乘冪、開方為函數呈現方式的問題。

超越「代數函數」的函數問題,就稱為「超越函數」,包括:三角函數、對數與指數函數、雙曲函數、多變項函數、極座標函數,與其他更多可能發展的形式。

對以統計為主軸的本系列講義而言,本篇主題可以全部列為「進階」。但如果要澈底思考人類行為的非線性現象(指數函數),與建構更完整具備基礎性的「第3類知識」,三角函數與其更進階的雙曲函數,實扮演更關鍵的角色。


三角函數三角函數 Trigonometric Functions

Derivatives of Trigonometric Functions

觀念與計算斜率方法與上同,重點在:

addition and subtraction theorems

幾何解:http://www.themathpage.com/atrig/sum-proof.htm

微分解:http://www.maa.org/pubs/Calc_articles/ma006.pdf

Java示例:http://www.ies.co.jp/math/java/trig/kahote/kahote.html


對數與指數函數對數與指數函數

對數與指數函數是以漸進的方式,討論以下3種函數的關係:倒數函數(Reciprocal FunctionMultiplicative inverse)、對數函數(Logarithmic Function)與指數函數(Exponential Function)。

倒數函數 Reciprocal Functions

倒數函數 Reciprocal Functions

其函數圖形如下:

倒數函數

自然對數函數 Natural Logarithmic Functions

當倒數函數之 X>0 侍,定義「自然對數函數」是一個特殊的人為定積分函數,為導數等於 1/x 之解,就是處理斜率以 1/x 方式漸增的現象。

對數函數 Logarithmic Functions

對數函數通常以時間為橫軸,故常以 t (time) 為變項符號。

其函數圖形如下:

Logarithmic Function 

其計算的性質:

對數計算

自然對數的底數e The Number e

e 是什麼意思? 

ln x = 1 時,x ≒ 2.718 ,我們令其值為 e

從積分現象可知, e 正好滿足以下的極限。。

e 是什麼意思

e 的值:

The Number e e是一個著名無理常數,還具有許多特殊的性質與應用,如 Euler 恆等式,以處理更多「複平面」-即由實數軸和虛數軸所構成的平面問題。

自然指數函數 Natural Exponential Functions

定義「自然指數函數」是「自然對數函數」的反函數。

指數函數 Exponential Functions

所以,指數函數與對數函數互為反函數:

指數函數與對數函數互為反函數

兩者函數關係圖形如下,上方為 Y = ex

指數函數

指數函數與對數函數兩者的反函數關係:

指數函數與對數函數兩者的關係 

指數函數的導數,即其本身指數函數的導數,即其本身。

一般底數的指數

指數函數最重要的性質之一,就是以任意正數 a 為底的指數,都可以用自然指數表示。亦即,所有指數函數,皆可以標準化為自然指數函數而更易於分析。

Complex logarithmJohn Napier 花了20年發展對數觀念,其時還在牛頓之前。後來逐步經多人發展至複雜對數(Complex logarithm)、歐拉恆等式(Euler's identity),實反映了何謂「演化型知識」的範例。

指數函數的應用,常見者有「指數成長模式」和「供需成長模式」。

指數成長模式 Exponential Growth

供需成長模式 Logistic Growth

是各種S-型成長模型的基礎模型。

供需成長模式 

這項定義公式有點難懂,其實是由對「勝算比(odds ratio 簡稱 odds)」取對數,再展開、移項而得的。

本項模式原始是從研究人口 (population) 而來,後來延伸到生態、醫藥及其他方面的應用。

Logistic一詞一般譯為「供需」,依據發明者Pierre François Verhulst解說,應有「承載」的意義,

其標準化函數圖形(以 -6 < t < 6 區間為例)如下:

供需成長模式圖形

Logistic Growth e-t 為與 et Y 軸對稱的曲線, 因 e-t > 0,故 0 < P(t) < 1

t = 0 時, e-t  = 1 ,故 P(t) = 0.5

左側 t 愈小時, e-t  愈大、其倒數 P(t) 愈小;右側則反之。

Logistic Growth 在統計上的應用Logistic Growth 在統計上的應用

常態分配的積分,亦即其PCF,會形成 Logistic Growth 曲線。

Logistic 迴歸/對數迴歸:當自變項為類別資料,尤其是二元資料時相關理論的迴歸分析方法。


雙曲函數 Hyperbolic Functions雙曲函數 Hyperbolic Functions

雙曲函數處理雙曲線(x2 - y2 = 1) 的衍生問題,所以也叫圓函數(Circular Functions),呈現方式類似三角函數。曲線上的點,定義由雙曲正弦函數「sinh a」和雙曲餘弦函數「cosh a」表示(如下圖),從它們可以導出雙曲正切函數「tanh」等等。其中的推導也類似於三角函數的推導。雙曲函數的反函數稱為反雙曲函數,例如雙曲正弦函數的反函數是「arsinh」(也叫做「arcsinh」或「asinh」),以此類推。雙曲函數可以描述許多統計曲線,其實是澈底研究行為統計的基礎。

Hyperbolic Functions

雙曲函數在應用上可以用指數函數表示,因 ex  正好為 sinh xcosh x 之和。

其定義公式如下:

Hyperbolic Functions 

sinh xcosh x 與指數函數關係的圖形如下: 

cosh x sinh x
cosh xex  與 e-x  和之平均。 
sinh xex  與 e-x  差之一半。  

6種雙曲函數的圖形如下:  

6種雙曲函數的圖形  6種雙曲函數的圖形 
 

偏微分與多變項模式偏微分與多變項模式

以上都是「常微分」亦即只有1個自變項;另有「偏微分」,即有2個以上自變項,而分析其中只有部分變項變動的情形,而以 fx(對x偏微)、或以 Rounded d(Rounded d)代替d表示偏導數。而對所有多變項微分,就是全(Total)微分。

偏微分只是把微分程序分階段進行偏微分只是把微分程序分階段進行,對某1變項微分時,就把其他變項視為常數。

譬如:對以下函數偏微分:

f(x,y)=x + y

對 x 偏微分即:

fx(x,y)=1 + y

理由:指數規則 f'(x)=x =1

同理:fy(x,y)=x +1 

教科書為了交代仔細,寫得可能比較難懂教科書為了交代仔細,寫得對初學者可能比較難懂,但結果和我的示範完全一樣。

偏微分在計算上較為繁複,但在概念上並無特殊之處偏微分在計算上較為繁複,但在概念上並無特殊之處。

我寫這一段,是因為我看過一位國際院士級的經濟大師,寫一篇文章盛讚某一經濟理論使用了偏微分。他的發言應也代表了同級「國際院士級的經濟大師」對微積分的認識。

多變項模式在自然、生理、行為上是常見的現象,偏微分在研究工作層次上,其實是基本能力。

這也印證我的觀察:在「社會相信」「集體行為」作用下,當前投入「人文社會行為研究」的人士,有相當比例並不是「對人文社會行為研究有興趣」,而是「對數學、計量方法沒興趣」。不論是否國際級、大師級,都是一樣。

但人類行為研究的計量方法,其實比自然、生理研究還需要深入。所以,我主張:所有「人文社會行為研究」的基礎理論必須重新探討、重新確認。


微積分與行為研究-以經濟學為例深入思考:微積分與行為研究-以經濟學為例

在知識光譜中,「物理知識-微積分」「生理知識-統計」均已有相當健全的基礎理論與計量方法,但「第3類知識:人類行為知識」呢? 

屬於物理測量工具的微積分,如果直接拿來測量人類行為,你有什麼看法?

如各種經濟指標多屬於指數成長模式,其基本型為:

指數成長模式

物理環境可能存在 e 的條件,亦即在無限期數內,每期有自然的、規則性指數 β 比例的變動,如冷卻現象。

即使將基本模式複雜化,還是不能違背前提。

但人類行為呢?

統雄老師建議:在不考慮生息作用與意識型態作用,只觀察單一群體時,較佳的(即尚不是最佳的,統雄老師仍在尋找最佳者)一般取用基礎模式是:

y = tanh αx

x: 時間軸

α: 是「對新事物需求的2群人數分配」與「社會相信程度」的互動參數

而完整的思考,就是統雄老師發展中的 TX Adoption Modeling


自我啟發自我啟發

非常淺顯的微積分互動學習網站,可以玩一玩。非常淺顯的微積分動態學習網站,可以玩一玩。

數學名詞與符號源起(Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics)數學名詞與符號源起(Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics:版主是一位高中老師,證明對知識的熱情,是不受社會形象影響的。

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高考統計考題的解析
微積分精華篇
微積分思想篇
微積分進階精華篇
統計/數學符號與其英語讀法
資料型態與視覺呈現
敘述統計
機率論與機率分配
推論統計學精華篇
t分配與 t檢定
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資料分析程序與SPSS基礎
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SPSS 選擇觀察值_SPSS 資料庫管理
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