吳統雄
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一般線性模型GLM的應用

Analysis of Covariance, ANCOVA and

General Linear Model, GLM

神掌打通任督二脈•易筋經以簡馭繁

多因子分析常用模型簡介多變項-多因子分析常用模型簡介

共變數分析特色

概念模型與分析方法摘要

共變模型的用途
一般線性模型 General Linear Model, GLM
共變數分析的前提

SPSS 範例檔案下載
應用範例
檢查交互作用
排除共變項
同質性考驗
調整組內平均數
ANCOVA的報告方法
視覺輔助圖
一對一組間比較


共變數分析(ANCOVA)有3大主要用途:
1.淨化主要自變項-自變項為連續資料。
2.作為實驗推論的「統計控制」-自變項為類別資料,共變項與應變項平行。
3.增強自變項效果-自變項為類別資料,共變項與應變項逆向。

共變數分析特色

共變項就是在單一自變項外,在觀察過程中,還存在會對應變項產生影響的變項。

共變數(Covariance)是共變項影響的測量值,而共變數分析(Analysis of covariance, ANCOVA),則是結合變異數分析迴歸分析一般線性模型技術,排除共變項在理論建構中的影響,以觀察自變項對應變項的真正效果。

共變模型中的共變項、應變項都必須是連續資料。

Covariance is a measure of how much two variables change together and how strong the relationship is between them. Analysis of covariance (ANCOVA) is a general linear model which blends ANOVA and regression. ANCOVA evaluates whether population means of a dependent variable (DV) are equal across levels of a categorical independent variable (IV), while statistically controlling for the effects of other continuous variables that are not of primary interest, known as covariates (CV). Therefore, when performing ANCOVA, we are adjusting the DV means to what they would be if all groups were equal on the CV.

理論概念模型

分析方法與其說明

共變模型

又稱共變數分析或共變項分析

因子間關係:彼此不獨立,且相互平行
共變數分析

目的

本分析旨在排除與主要自變項存在共線性(collinearity)的「共變項」-即另1自變項,以淨化主要自變項的效果。

共線性係指變項間存在相關關係,亦即在幾何上的平行關係。

BY、或BA有共變關係-即具備共線性。B必須是連續資料。
A預測Y時,其中可能包含B的貢獻。
排除B的貢獻,分析A真正的預測力。
共線性與交互作用是互斥的,所以共變數分析與以上交互作用分析是不能同時存在的。
要作共變數分析之前,必須先排除有交互作用關係。

SPSS 工具

自變項為類別資料:

一般線性模式(GLM)之ANCOVA

自變項為連續資料:

多元迴歸分析

共變模型的用途

共變數分析(ANCOVA)有3大主要用途:

1.淨化主要自變項。當自變項均為連續資料時,各自變項分別與應變項有高簡單相關係數,但其中可能有些自變項呈平行共變關係,並非獨立自變項。進一步使用迴歸分析,如果多元迴歸係數比簡單相關係數降低者,就是共變項,則可排除未達顯著水準的共變項,淨化獨立自變項的效果。

2.作為實驗推論的「統計控制」。當自變項均為類別資料時,尤其是在採用實驗法(尤其是準實驗法)時,實驗的結果如果要能推論全體,通常必須進行以下2項控制之一:第一、實驗控制:即樣本的來源必須符合隨機性。第二、統計控制:排除其他非實驗所觀察的變項,亦即在實驗處理前後,採用2次以上測量並配合共變數分析以排除誤差。在實施「前測-後測」時,將前測當作共變項排除,避免產生假性差異-亦即:組間存在先天差異,不是操作自變項之實驗處理造成的。

3.增強自變項效果。以上的程序是排除與應變項平行的共變項,但有些特殊情形,共變項與與應變項互逆,譬如在作ANOVA時無差異、而排除共變項後,自變項主要效果會則會產生差異。

ANCOVA can be used to increase statistical power (the ability to find a significant difference between groups when one exists) by reducing the within-group error variance.
Another use of ANCOVA is to adjust for preexisting differences in nonequivalent (intact) groups. This controversial application aims at correcting for initial group differences (prior to group assignment) that exists on DV among several intact groups. In this situation, participants cannot be made equal through random assignment, so CVs are used to adjust scores and make participants more similar than without the CV. However, even with the use of covariates, there are no statistical techniques that can equate unequal groups. Furthermore, the CV may be so intimately related to the IV that removing the variance on the DV associated with the CV would remove considerable variance on the DV, rendering the results meaningless.

一般線性模型 General Linear Model, GLM

共變數分析屬於「一般線性模型/多變項線性迴歸( general linear model, GLM)/ multivariate linear regression」的應用。

共變數分析的前提

Assumption 1: Randomness and Independent Sampling

樣本符合隨機性、獨立性。

Observations must be randomly sampled from the population and independent from each other. If this assumption is violated, the test will produce inaccurate results.

Assumption 2: Normality

變項符合常態分配。

There must be a normal distribution of the DV in the population. In the event that a distribution that is nonnormal (e.g., skewed or kurtotic) and sample sizes are small, p-values may be invalid.

Assumption 3: Homogeneity of Variances

變異數具備同質性。

The variances of the DV must be equal for all levels of the IV and the CV.

Assumption 4: Homogeneity of Regression Slopes

共變項與自變項的斜率具備同質性,亦即共線性。

The slope of the line predicting the DV from the CV must be equal for each level of the IV. That is, the CV must not have differential effects on the DV at different levels of the IV. This assumption is violated when there is a significant interaction between the IV and the CV.
If this assumption is violated, ANCOVA should not be performed. If the correlations of the covariates with the DV are very different in different cells of the design, gross misinterpretations of results may occur. In ANCOVA, we basically perform a regression analysis within each cell to partition out the variance component due to the CV. The homogeneity of slopes assumption implies that we perform this regression analysis subject to the constraint that all regression equations (slopes) across the cells of the design are the same. If this is not the case, serious biases may occur.


SPSS 範例檔案下載

以下介紹使用SPSS達成所有分析步驟的過程。

下載SPSS範例資料下載SPSS範例資料(右鍵下載)

下載SPSS範例資料下載SPSS範例資料(教材專區)Analy-SPSS-Teaching.sav


應用範例

我們發現:女性網路消費力遠超過男性。但進一步思考,會不會存在「開始上網時間」的共變項?亦即消費力其實是與網路使用經驗的長短有關。

為了消除疑慮,決定排除這個共變項,確認性別這個自變項的效果。

檢查交互作用

共變項在自變項的各組內,必須「組內迴歸係數同質」,也就是共變項在每組內作用相同,亦即自變項和共變項不得有交互作用。

〉分析

〉一般線性模式(GLM)

〉單變量

SPSS-ANCOVA

設定應(依)變項:[q23]

、自變項(固定因子):[q41]

、共變項(量):[q6_1]

SPSS-ANCOVA

〉模式

〉自訂

將自變項、應變項都分別選取,計算主要效果。

SPSS-ANCOVA

<Ctrl> + Click 選取「自變項+ 共變項」,以計算交互作用效果。

「包括截距」的幾何意義表示迴歸線沒有通過原點,即沒有Y﹦0的情形。其代數意義,即線性模式中之「常數」(β0)。

SPSS-ANCOVA

執行後,交互作用未達顯著水準,表示可以進行共變項分析。

SPSS-ANCOVA

排除共變項

〉一般線性模式(GLM)

〉模式

改選「完全因子設計」

SPSS-ANCOVA

〉圖形

可以視覺方式顯示各組差異。

SPSS-ANCOVA

〉選項

SPSS-ANCOVA

同質性考驗

同質性考驗就是分析組內變異數是否相同,如果不同質,沒有繼續分析的意義。

本例的 P<.05,到達顯著水準,表示不同質。

SPSS-ANCOVA

調整組內平均數

SPSS-ANCOVA本例為習題,假設通過同質性考驗,繼續分析下去。

下表為未調整前分析,性別差異已到達顯著水準。

SPSS-ANCOVA

計算「組內迴歸係數」如下表。

SPSS-ANCOVA

調整後獲得的平均數,與組間對比顯著性。

SPSS-ANCOVA

ANCOVA的報告方法

APA報告格式:F(1,27)=6.449 P<.05

F(1,27)中的1是組間自由度;27是排除共變項後之自由度。

敘述式可寫:達到.05 顯著水準(當前寫 .02 亦無不可)

達到顯著水準者才須報告,必須同時報告以上分析過程各表。

從以上報表可知,排除共變項後,女性網路消費力(平均數)仍遠超過男性。

視覺輔助圖

圖形顯示組間差異。

SPSS-ANCOVA

一對一組間比較(Contrast)

如果組別超過2,同時發生對比差異,必須進一步作一對一組間比較。

〉比對

選取應變項,作「簡單」法即可。

SPSS-ANCOVA


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